Biased random walk

Bij dit experiment moesten wij de weg van een bacterie bepalen. Zoals je in de samenvatting al hebt kunnen lezen, doet een bacterie dit volgens het principe van een biased random walk (willekeurige wandeling met voorkeur). Ook keuzen we wat het verschil is tussen die biased random walk en een 'echte' random walk.

De gegeven onderzoeksvraag voor dit experiment was: Hoe verschilt een biased random walk (een toevalswandeling met voorkeursrichting) van een echte random walk (zonder voorkeursrichting)?

De benodigheden: speelveld (blad vol met zeshoekige vakjes); pion; dobbelsteen; potlood; blauwe pen; rode pen

De uitvoering:
Je hebt dus het speelveld vol zeshoekige vakjes (gekregen van je leraar). Je gaat in eerste instantie een biased random walk nabootsen. Je begint in het midden van het blad, waar de letter S staat aangegeven. Vervolgens gooi je 10x achter elkaar en bepaal je de eindpositie. Per gooi moet je een bepaald aantal stappen een bepaalde kant opzetten:
Bij 1: drie vakjes naar rechtsboven
Bij 2: twee vakjes naar rechts
Bij 3: een vakje naar rechtsonder
Bij 4: een vakje naar linksonder
Bij 5: twee vakjes naar links
Bij 6: drie vakjes naar linksboven
Gegeven is ook dat je de pion moet laten terugkaatsen met het principe van een spiegelweerkaatsing, als deze pion aan de rand van het speelveld zit.

Je voert nu dus deze proef uit en zet een blauw kruis na 10x dobbelen op de plek waar de pion zich dan bevindt. Dit herhaal je 10 keer achter elkaar, waardoor je een preciezere meting hebt. De resultaten van ons bij de proef zie je onderaan in de afbeelding (na ronde 2)

Bij ronde 2 moesten we precies dezelfde proef doen, maar dan met andere aantallen bij het dobbelen. Hieronder vind je het aantal stappen per gooi:
Bij 1: twee vakjes naar rechtsboven
Bij 2: twee vakjes naar rechts
Bij 3: twee vakjes naar rechtsonder
Bij 4: twee vakjes naar linksonder
Bij 5: twee vakjes naar links
Bij 6: twee vakjes naar linksboven
Je bootst hier de beweging van een random walk na. Dit doe je weer 10 keer 10x dobbelen. Je dobbelt ook bij deze ronde dus 100 keer. Zo onderzoek je weer wat preciezer dan dat je het experiment een keer uitvoert. Bij elke uitgangspositie zet je nu een rood kruis.

Uiteindelijk kwamen we tot de resultaten die hieronder zijn gegeven:

Wat je hier ziet, is dat de blauwe kruizen zich veel meer in de bovenkant van het speelveld bevinden (bij de gunstige omstandigheden), terwijl de rode kruizen heel erg verdeeld zijn. De rode kruizen kun je overal wel terugvinden (zowel ongunstige -als gunstige omstandigheden. Hier kun je al meteen een conclusie uit trekken: de biased random walk beweegt dus daadwerkelijk naar een voorkeurskant (in dit geval de gunstige omstandigheden) en de random walk beweegt dus helemaal willekeurig.

 

De uitvoering

1. Wat voor een bias heeft de random walk van een E. Colibacterie?
Antwoord: gunstige omstandigheden

2. Wat voor een bias heeft de random walk van de pion in ronde 1?
Antwoord: gunstige omstandigheden (naar boven)

3. Neem het startpunt als oorsprong (0,0). Bereken de gemiddelde x-coördinaat (horizontaal) en y-coördinaat (verticaal):
- van de slotpositie van de pionnen in ronde 1;
- van de slotpositie van de pionnen in ronde 2.
Antwoord:
bij ronde 1:
<y> = 5,4 en <x> = (1+2,5+9+2,5-1-4+0-9.5+0.5-1)/10 = 0
Bij ronde 2:
<y> = 0,7
<x> = (8-9-4+7+0.5-1-10,5+1-3-0.5)/10 = -1,15
Dit geeft dat d(x)=1,15 en d(y)=4,7

4.Verwacht je dat de gemiddelde x-slotposities van beide rondes duidelijk verschillend zijn? Zo ja, wat voor een verschil verwacht je?
Antwoord: nee, er zullen geen grote verschillen zijn op de x-as. Het aantal stappen naar links en rechts is namelijk hetzelfde. Er zullen wel kleine verschillen zichtbaar zijn door de onzekerheid/onnauwkeurigheid die je hebt bij het dobbelen.

5. Verwacht je dat de gemiddelde y-slotposities van beide rondes duidelijk verschillend zijn? Zo ja, wat voor een verschil verwacht je?
Antwoord: ja, want daar zit kwa aantal stappen die je moet zetten wél een verschil tussen de twee rondes. Dit komt omdat je bij de eerste ronde een bacterie zijn random walk mét voorkeurskant (namelijk boven) en bij de tweede ronde zonder voorkeurskant. Bij de eerste ronde zullen de metingen van de y-as meer positief zijn (omdat je 3 stappen omhoog kan en maximaal 1 stap omlaag) en bij de tweede ronde zal het gemiddelde rond y=0 liggen.

6. Hoe goed kloppen jouw verwachtingen met de uitkomsten van de simulatie?
Antwoord: de uitkomsten komen inderdaad overeen met de verwachtingen. d(x)=1,15 (niet zo groot verschil) en d(y)=4,7 (wel een groot verschil). De d(y)is dus zo groot door de voorkeursrichting. Het verschil bij d(x) komt meer door de onnauwkeurigheid bij het dobbelen.

7. Denk je dat die verwachtingen beter gaan kloppen als je meer simulaties zou doen: bijvoorbeeld 100 per ronde in plaats van 10 per ronde? Licht je antwoord toe.
Antwoord: ja, want bij meer metingen zullen de resultaten preciezer zijn. Bij 10x gooien kan je nog veel eenzijdig gooien (veel dezelfde getallen waardoor je de kant van ongunstige omstandigheden opgaat bijvoorbeeld). Bij 100x dobbelen is dit haast onmogelijk en zal het gemiddelde dus dichter bij de verwachtingen liggen.